Mô tả của đề đang được cập nhật

Đề học sinh giỏi cấp huyện Toán 9 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Ba Vì – Hà Nội

--------------- THCS.TOANMATH.com ---------------



Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 trường THCS Cộng Hòa – Hải Dương

Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Nha Trang – Khánh Hòa

Đề học sinh giỏi huyện môn Toán năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Cam Lâm – Khánh Hòa

---------- THCS.TOANMATH.com ----------



Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Đức Thọ – Hà Tĩnh

Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Hà Nội

Đề khảo sát CLB Toán 9 năm 2022 – 2023 trường THCS Cầu Giấy – Hà Nội

Đề thi thử HSG Toán 9 năm 2022 – 2023 trường THCS Lai Vu – Hải Dương

Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 trường THCS Phú Thái – Hải Dương

Đề thi thử học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2022 – 2023 THCS Lăng Thành – Nghệ An

50 ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP TỈNH

Tuyển tập ĐỀ HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP TỈNH
MỤC LỤC
Phần 1. Đề thi
Phần 2. Đáp án
•

Đề 1:______________________________________________________Trang ….58

•

Đề 2:______________________________________________________Trang ….62

•

Đề 3:______________________________________________________Trang ….65

•

Đề 4:______________________________________________________Trang ….69

•

Đề 5:______________________________________________________Trang ….73

•

Đề 6:______________________________________________________Trang ….77

•

Đề 7:______________________________________________________Trang ….84

•

Đề 8:______________________________________________________Trang ….89

•

Đề 9:______________________________________________________Trang ….93

•

Đề 10:_____________________________________________________Trang ….99

•

Đề 11:_____________________________________________________Trang ….104

•

Đề 12:__________________________________________________

Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh / thành phố có lời giải

Tuyển tập ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 CẤP QUẬN, HUYỆN
MỤC LỤC
Phần 1. Đề thi
Phần 2. Đáp án
•

Đề 1:______________________________________________________Trang ….56

•

Đề 2:______________________________________________________Trang ….59

•

Đề 3:______________________________________________________Trang ….63

•

Đề 4:______________________________________________________Trang ….65

•

Đề 5:______________________________________________________Trang ….70

•

Đề 6:______________________________________________________Trang ….73

•

Đề 7:______________________________________________________Trang ….78

•

Đề 8:______________________________________________________Trang ….82

•

Đề 9:______________________________________________________Trang ….85

•

Đề 10:_____________________________________________________Trang ….88

•

Đề 11:_____________________________________________________Trang ….91

•

Đề 12:_____________________________________________________Trang ….95


Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp huyện / quận có lời giải

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2020
Võ Quốc Bá Cẩn

1. Đề thi
Bài 1 (5.0 điểm).
a) Giải phương trình:
p
p
.4x C 2/ x 2 C 2x C 5 D .x 2 C 2x C 2/ 4x C 5:
b) Cho bốn số thực dương a; b; c; d thỏa mãn a3 C b 3 C c 3 D 3d 3 ; b 5 C c 5 C d 5 D 3a5
và c 7 C d 7 C a7 D 3b 7 : Chứng minh rằng a D b D c D d:
Bài 2 (5.0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 C 3n C 11 không chia hết cho 49:
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương .x; y; p/ với p là số nguyên tố thỏa mãn
x 2 C p 2 y 2 D 6.x C 2p/:
Bài 3 (3.0 điểm).
a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn 5.x

y/2  x 2 C y 2 : Chứng minh rằng

1
x
  2:
2
y
b) Cho ba số thực dương x; y; z thay đổi thỏa mãn điều kiện 5.xCyCz/2  14.x 2 Cy 2 Cz 2 /:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P D

2x C z
:
x C 2z

Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < BC; ngoại tiếp đường tròn tâm
I: Hình chiếu vuông góc của điểm I trên các cạnh AB; AC theo thứ tự là M; N và hình chiếu
vuông góc của đ

Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2019
Võ Quốc Bá Cẩn

1. Đề thi
Bài 1 (5.0 điểm).
a) Giải phương trình:

p
3
2



2
2
1 34
 1
b) Cho S D 1 23
quả để dưới dạng phân số tối giản).

p

xD1
2
20202021



x

1:

là một tích của 2019 thừa số. Tính S (kết

Bài 2 (5.0 điểm).
a) Biết a; b là các số nguyên dương thỏa mãn a2
cả a và b đều chia hết cho 3:

ab C b 2 chia hết cho 9; chứng minh rằng

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9n C 11 là tích của k .k 2 N; k  2/ số tự
nhiên liên tiếp.
Bài 3 (3.0 điểm).
a) Cho x; y; z là các số thực dương nhỏ hơn 4: Chứng minh rằng trong các số
1
C 4 1 z ; z1 C 4 1 x luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1:
y

1
x

C

1
;
4 y

b) Với các số thực dương a; b; c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2 C b 2 C c 2 C 2abc D 1; tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P D ab C bc C ca abc:
Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác AB C vuông tại A .A B < AC /: Đường tròn .I / nội tiếp
tam giác AB C ; tiếp xúc với các cạnh B C ; C A; AB lần lượt tại D ; E

Đề thi chọn HSG Toán 9 năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Nội

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2015 – 2016 sở GD&ĐT Đồng Tháp

H    và tên thí sinh: ........................................   Ch    ký giám th    1:  S    báo danh: ...............................................   ....................................  PHÒNG GD&  T TH    XÃ GIÁ RAI   K    THI CH  N HSG L  P 9 VÒNG TH    XÃ N  M H  C 2016 - 2017  *   Môn thi: TOÁN  *   Ngày thi: 25/12/2016  *   Th  i gian: 150 phút   (Không k    th  i gian giao    )    Câu 1: (5    i  m)  a) Ch  ng minh r  ng tích c  a 4 s    nguyên d  ng liên ti  p không th    là m  t s   chính ph  ng. b) Cho:             5 . 5   1   6 . 3   2           n   n   n   n   n M   . Ch  ng minh:   91;         M   n     Câu 2: (5    i  m)  a) Gi  i ph  ng trình:       3   2 10   x   + 1 = 3 x   + 2 b) Gi  i h    ph  ng trình: 3 3 x   + 1 = 2y y   + 1 = 2x        Câu 3: (5    i  m)  a) Cho bi  u th  c:   2   1 1        B   x   x   . Ch  ng minh:   3   2   2     B   v  i   0   1     x  b) Cho hai s    d  ng   a ,   b   th  a mãn:   2   2     a   b   . Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c:   1   1 a   b      P   .  Câu 4: (5    i  m)  Cho    ng tròn   (O; R) ;   AB   và   CD   là hai    ng kính khác nhau c  a    ng tròn. Ti  p tuy  n t  i   B   c  a    ng tròn   (O; R)   c  t các    ng th  ng   AC ,   AD   th    t    t  i   E   và   F . a) Ch  ng minh t    giác   ACBD   là hình ch    nh  t. b) Ch  ng minh       A CD   CBE     ng d  ng v  i nhau. c) Ch  ng minh t    giác   CDFE   n  i ti  p. d) G  i   S; S   1 ; S 2   theo th    t    l  n l  t là di  n tích c  a   ,   ,        A EF   BCE   BDF   . Ch  ng minh:   1   2 S   S   S       .  --- H  T ---  (G  m 01 trang)     CHÍNH TH  CPHÒNG GD&  T TH    XÃ GIÁ RAI   K    THI CH  N HSG L  P 9 VÒNG TH    XÃ N  M H  C 2016 - 2017  *   Môn thi: TOÁN  H  NG D  N CH  M Câu   N  i dung   S    i  m 1 (5    i  m)  a)  G  i:   ;   1;   2;   3        n n   n   n   là 4 s    nguyên d  ng liên ti  p Ta có:            1   2   3           A   n n   n   n         2   2 3   3   2           n   n   n   n   0,25              2 2   2 3   2   3           n   n   n   n   1,0              2   2 2   2 3   3   1                 n   n   A   n   n   1,0   V  y :   A   không th    là m  t s    chính ph  ng   0,25   b)  Ta có:            5 . 5   1   6 . 3   2           n   n   n   n   n M            25   18   12   5   7              n   n   n   n  1,0   Và:             25   12   18   5   13              n   n   n   n M   1,0   Mà:       7;13   1    0,25   V  y:   91;         M   n      0,25   2 (5    i  m)  a)   K:   1  x   0,25    t:   2 1   ;   0,   0 1                             a   x   a   b b   x   x  2   2   2   2           a   b   x   0,25       2   2 10   3        ab   a   b   0,25          3   3   0           a   b   a   b   0,25   3 3          a   b b   a   0,25   V  i:   3  a   b   , thì: 2 1   3   1           x   x   x  2 9   10   8   0           x   x   (pt vô nghi  m)   0,5   V  i:   3  b   a   , thì: 2 3   1   1           x   x   x  2   10   8   0           x   x  5   33        x   0,5   (G  m 03 trang)     CHÍNH TH  C

Đề thi HSG Toán 9 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT thị xã Giá Rai – Bạc Liêu

Trang   1 / 1 .  UBND TỈNH LAI CHÂU  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  KỲ THI   CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9   CẤP TỈNH  NĂM   HỌC   2016-2017  Môn thi:   Toán  Thời gian:   150 phút   (không kể thời gian phát     Ngày   thi:   9/4/2017  Câu 1 : ( 4,0 điểm )  Cho biểu thức:   P =   (   )  (   ) 2 2 2   4   8   32   2  : 1  2   8   2 1   3      +   +              +                  +     +   +          x   x   x x   x   x   x x  a) Rút gọn P ;  b) Tính giá trị của P với   9   4   5 x   =      ;  c) Tìm các giá trị chính phương của   x     Câu 2: ( 4,0 điểm )  2.1.   Ch    n   là số tự nhiên chẵn thì   20 n   + 16 n   - 3 n   - 1      323  2.2.   Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2 x 2   +   y 2   + 3 xy   + 3 x   + 2 y   + 2 = 0  Câu 3:   (4,0     3 .1. Cho phương trình:   x 2   - ( m   + 5) x   + 3 m   + 6 = 0. Tìm   m    có hai nghiệm   x 1 ,   x 2   là độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.  3.2. Giải hệ phương trình sau:  2   2 2   2   2 6 1   5     +   =     =    y   xy   x x y   x  Câu 4:   (6,0 điểm)  Cho đường tròn (O). Qua điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là hai tiếp điểm) và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC.  a) Chứng minh: A, M, O, I, N thuộc một đường tròn;  b) Chứng minh: IA là tia phân giác của    MIN   ;  c) Vẽ dây CD song song MN, H là giao điểm của BD và MN. Chứng minh: HM = HN.  Câu 5 : ( 2,0 điểm )   Cho   x, y, z   > 0 và   x + y + z   = 1.  Tìm giá   trị nhỏ nhất của biểu thức:   Q   =   2   2   2 1   1   1   1   1   1  +   +   +   +   +  x   y   z   xy   yz   xz  -------------------- Hết ------------------  -   Thí sinh không được sử dụng tài liệu.  -   Cán bộ coi thi   không giải thích gì thêm .     THI   SỐ 1  (Đề   t hi   có 01   trang )Trang   1 / 5 .  UBND TỈNH LAI CHÂU  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9   CẤP TỈNH  NĂM HỌC 2016 - 2017  Môn:   Toán  Thời gian:   150 phút   (không kể thời gian phát đề)  Ngày thi:   /4/2017  Người ra đề:   Chung  HƯỚNG DẪN CHẤM  Câu         Thang   iểm  Câu 1  (4     a     4    0,25     A =   (   4   4)   4   8   32 2   1   3   2   (2   )(4   2   )  x x   x   x x   x   x   x   x   x  +   +   +    + +   +   +         +   + (   4   4   )(2   )   4(   2   4)   8   32 (2   )(   2   4)  x   x   x   x   x   x   x   x x   x   x  +   +         +   +   +   + =      +   + 0,5 3   2   3 2(   )   8   8   4(   )   4   4   8   16   8   32 (2   )(   2   4)  x   x   x   x   x   x   x   x   x x   x   x  +   +                     +   + =      +   + 0,25 3   2   3 2(   )   8   16   (   ) (2   )   8(   2) (2   )(   2   4)   (2   )(   2   4)  x   x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x        +   +      +   +   + =   =    +   +      +   + 0,25 3 (2   ) 8   (   )   2 (2   )(4   2   )  x   x   x x   x   x      +        =   =   +    +   +   0,25  Vậy:   P =  2 (2   )  (2   ) :   2  x   x x   x   x  + +   = +   ( x > 0 và   4 x      )   0,5 b  Thay   9   4   5 x   =      vào P ta được :  P =  2 (2   5   2)   5   5(   5   2)   5   5   10 5   4 5   2   5   2  +       =   =   =          0,5  c  T a có:   P =  2 (2   ) x x  +   4   4   4   4  x   x   x x   x  +   + =   =   +   +   0,5  P      Z      4  x      Z và    x   Z   0,25      x      {   } 1,   2,   4           x   và    x   Z   0,25     x = 1 hoặc x = 16 thì   P có giá trị nguyên.   0,5  Ta thấy 323 = 17.19 mà (17;   19) = 1 ta chứ ng minh  Xét   B =   20   16   3   1 +       n   n   n      17 và   B      19   0,5  HƯỚNG DẪN CHẤM    (Gồm: 05   trang)

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2016 – 2017 sở GD&ĐT Lai Châu

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH THÀNH PHỐ THANH HÓA    Năm học: 2017 - 2018 Môn: TOÁN ( Vòng 1)  Th  i gian làm bài: 150 phút (Không k    th  i gian giao    )  Bài 1: ( 4 điểm)   Cho biểu thức: 3   3   2   2 2 1   1   (1   ) : 1   1   2  x   x   x   x P   x   x x   x   x                                                      a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi   6   4   2 x        Bài 2: (4 điểm)  a) Cho   2   2   2   2   2017 a   b   c   d             và ac + bd = 0. Tính giá trị biểu thức S = ab + cd. b) Cho a, b là các số nguyên dương sao cho: a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh:   4 a   a   b       chia hết cho 6.  Bài 3: (4 điểm)  a) Giải phương trình:              4   4 2   2 3   1   3   3   82 x   x   x   x                  b) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức:                  2   2 1   1   4   2   1   25 x   y   xy   x   y   xy                     Bài 4: (6 điểm)  Cho hình vuông ABCD, có M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và BC, nối DN cắt CM tại I. a)   Chứng minh: CI.CM = CN.CB. b)   Chứng minh: DI = 4IN c)   Kẻ tia AH vuông góc với DN tại H và tia AH cắt CD tại P. Cho AB = a. Tính diện tích tứ giác HICP.  Bài 5: ( 2 điểm)  Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn:       x   y   x   y   xy         Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y. ............................................................. HẾT ........................................................  Họ và tên thi sinh.....................................Số báo danh................................... Chữ ký của giám thị 1.................................Chữ ký của giám thị 2..................

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 năm học 2017 – 2018 trường THCS Trần Mai Ninh – Thanh Hóa (Vòng 1)

th/  PHONG   GD&DT NAM   NHUN   DE   THI   CHQN   HQC   SINH   GIOI   CAP   HUYEN  Nim   hoc   20f8-20f9  of   rru   cnfNn   rHrrc  1Oi   thi   gim   01   trang)  M6n   thi:   To6n   9  Ngdy   thi:   l3l0ll20l9  Thdi   gian.ldm   bdi:   150   phrit  (Kh6ng   k€   thdi   gian   phdt   d€)  D6   bni  CAu 1: (4,0   tli6m).   Thuc   hi6n phdp   tinh  a)   3+   s   +2Jl   .   J_   s+2Jj  *r :3:-.   I   -   4: "'.6+Ji'   Ji-r   3-.6  Ciu   2:   (4,0   tli6m)  a   )   Gi6i   phuong   trinh   *+2-3J2*-s   +   *-z+Jz*-s   =zJi  4x+5y   2  b)   Giai   hQ   phuong   trinh   xy  20x   -30y   +   xy   -   0  Ciu   3:   (4,0   tli6m).   Cho bi6u   thuc  ^=(   *.   {   -g'+r)'Iz'E-z-']  [Jx+r   Jx-3   x-0.]   [Jx-3   )  a)   RftgonA  b)   Tim   c6c   gidtri cia   x   aC   a   .-] 3  c)   Tim   c6c   gi6   tri   cta   x   d6   A   c6 gi6   tri   nh6   nh6t  .   Ciu   4:   (6,0   tli6m).   Cho hai dudng   trdn (O)   vd   (O')   d ngodi   nhau.   Eulng  n6i   tAm   OO   cit   dudng   trdn (O)   vd   (O   )   t4i   c6c   di6m   A,   B,   C, D   theo   thf   tU   trCn  duong   thing.   K6   ti6p tuy6n   chung   ngodi EF,   E   e   (O)   vd   F   e   (O')..   Gqi   M   ld giao di6m   c[ra   AE   vd   DF;   N   ld   giao   di€m   cua   EB   vd   FC. Chung   minh   rdng:  a)   Tu   gi6c   MENF   ld   hinh   cht   nh4t.  b) MN   rAD.  ME.MA:   MF.MD  Ciu   5:   (2,0   tli6m).   Tim   gi5   tri   lon   nh6t   cria   bi6u   thric  P_   wJ,   -l   +   rrr[y   -   z   +   *   *yJ,   -l  xyz  ---------u6t-----  (Thi   sinh   kh6ng   droc s*   &tng tdi   liQu,   Gidm   thi coi thi   khdng   giai   thich   gi   thAm)  ltUt/'  PHONG   GD&DT NAM   NHUN   noc   of   rnr   cniNn   rnrlc  xi   rur   cHeN   Hec   srNH   Gror   cAr nuvpN  Nim   hgc 2018-2019  M6n   thi: Toin   9  CAU   Y   Hufng   din   ch5m   Di6m  1  (4,0d)  a  3+   5+2J1.   3-   s   +2J1  s+zJ]).Q-   s   +zJ1) (3+  s   +zJi), 3'-(  e-5-2J1  4-2J1=   (.6-r1'  =.6-r  0   5  0   5  0,5 0,25 0,25  b  3l  --L_  Ji*Ji'   Ji-t  trJi   -Jit - ---------:------   -r  -(.6)'-di''  4  3-\6  Ji   *r   +1:   *.,6)  d\'-r'   :'-(.,6)'  =   3(   :Jz)   +Ji+t-  J  4(3   +   \6)  4  =Ji-Jr+Ji+r-3-.6  0   5  0   5  0,5 0,5  .,  (4,0d)   a  5  DKXD:'>7  NhAn   2   v6 ctia   pt   v6i   .Dta   dugc:  2x+q-6Jzx-s   +   ,r-o*2J2*-5   =l  2x-5   -3)2 +   (Jzx-s+t)'=+  .,lJz,-s-ll=l tl  =.Er-S-l<O  >2x-5<9 +   x<7 2x-5  K6t hqp   v<yi   didu ki€n   x6c   dinh   ta   duoc:   1,   r   rt )  0,25  0,25  0,25  0,25  o   75  0,25 0,25 0,25  1t4

Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Nậm Nhùn – Lai Châu

Đề thi học sinh giỏi Toán THCS cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Vĩnh Long

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  THỊ XÃ SA PA  KỲ THI CHỌN H  C SINH GI  I C    THỊ XÃ L  P 9,   NĂM HỌC 2019   -   2020  Môn thi: Toán  Th  i gian làm bài: 150 phút, không k    th   (Đề thi gồm có   01 trang,05   câu)  Ngày thi: 04/01/2020  Câu 1 .   (2,0 điểm):  a)   Tìm số tự nhiên n để A = n 2012   + n 2002   + 1 là số nguyên tố . b)   Tìm các số nguyên   x   và   y   thỏa mãn   2 2 2   2 2   + = + +   y xy y x   .  Câu 2 .   (4,0 điểm):  Cho biểu thức :   2   1   4 .   3 1   1  x   x P   x   x   x  +     =        +   +      a) Rút gọn   P;  b) Tìm các giá trị của x để   8 P   9  =   ;  c) Tìm giá trị lớn nhất của P, giá trị nhỏ nhất của P .  Câu 3 .   (4,0 điểm):   Cho   hệ phương trình   với tham số m:   (   ) (   )  m   1 x   y   3m   4 x   m   1 y   m     +   =         +      =    a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m;  b) Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình là các số nguyên;  c) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.  Câu 4.   (4,0 điểm):  4.1:   Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671.  Chứng minh rằng:   2   2   2 1 2013   2013   2013  x   y   z x   yz   y   zx   z   xy   x   y   z  +   +       +      +      +   +   +  4.2:   Cho đường thẳng (d) có phương trình:   2(1   )   2  . 2   2  m y   x m   m   =   +       (với   m   tham số,   m   2    ). a)   Tìm điểm cố định   mà đường thẳng (d) luôn đi qua;  b)   Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.  Câu 5.   (6,0 điểm):   )    tâm O khác A,B.   Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P    AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q    AE) .  a) Chứng minh rằng: bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật;  b)   Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng ; c)   Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh    EAO đồng dạng với      MPB và  K là trung điểm của MP ;  d)    hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.  --------H  t--------  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.      THI   CHÍNH THỨC1  A. Hướng dẫn chấm:  -   Cho điểm lẻ tới 0,25 điểm.  -   Tổng điểm toàn bài không làm tròn.  -   Vẫn cho điểm tối đa nếu học sinh làm chính xác bằng cách khác.  B. Đáp án:  PHÒNG G D&ĐT  THỊ XÃ SA PA  KỲ THI CH   C SINH GI  I   CẤP THỊ XÃ L  P 9,   NĂM HỌC 2019      2020  Môn thi:   Toán  HƯỚNG DẪN CHẤM   CHÍNH THỨC  (Hướng dẫn chấm, thang điểm gồm có 06   trang)  CÂU   NỘI DUNG     Câu 1  (2 đ)  1.a)  (1 đ)  Xét   0 n   =   thì A = 1 không phải nguyên tố;   1 n   =   thì A = 3  nguyên tố.  0,25  Xét n > 1 có   A = n 2012      n 2   + n 2002      n + n 2   + n + 1  = n 2 [ (n   3   )   670      + n. [ (n   3   )   667      + (n   2   + n + 1)  0,25  Mà [ (n 3 ) 670      chia hết cho n 3   -   1, suy ra (n 3 ) 670      1 chia hết  cho n   2   + n + 1  Tương tự: (n 3   )   667      1 chia hết cho n   2   + n + 1  0,25  Do đó   A chia hết cho n 2   + n + 1   >   1 nên A là hợp số khi n > 1  Vậy số tự nhiên cần tìm n = 1.   0,25  1.b)  (1 đ)  Ta có:  (   ) (   )   (   )(   )  2 2   2   2 2 x   2y   2xy   y   2   x   y   y   y   2 x   y   1   y   2   y  +   +   =   +      +   = −   +   +    +   =   +      0,25  Do   (   ) 2 x   y   0   x, y +         nên   (   )(   )   2 1 0 2 1         +   y y y   .  Suy ra   {   } y   1; 0; 1; 2    0,25  Với   1  = y   , PT trở thành   Z x x x    =  = +    1 0 1 2 2  Với   0 = y   , PT trở thành   Z x x     =    0 2 2   0,25  Với   1 = y   , PT trở thành   Z x x x     =  +   0 1 2 2  Với   2 = y   , PT trở thành   Z x x x     =  = + +   2 0 4 4 2   .  Vậy có 2 cặp   (   ) y x ;   thỏa mãn đề bài   (   ) (   ) 1;   1 ;   2; 2       .   0,25  Câu 2  (4 đ)  2.a)  (2 đ)  T×m ®îc §K:   0 x     2   1   4 .   3 (   1)(   1)   1      +        +      +   +      x   x x   x   x   x  0,25  0,25  2   (   1)   4 .   3 (   1)(   1)      +         + =     +      +      x   x   x   x x   x   x   0,5  1   4  .   3 (   1)(   1)  + =   +      +  x   x x   x   x   0,5

Đề thi HSG Toán 9 năm 2019 – 2020 phòng GD&ĐT thị xã Sa Pa – Lào Cai

PH    GD&ĐT   B    XUY  N     CHÍNH THỨC  KÌ   THI CHỌN   HỌC SINH GIỎI   LỚP 9,   NĂM HỌC 201 9-2020    Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)  Câu 1 (2,0     Cho số thực   <    3   x   4   và biểu thức   3   2   5   9   3 A=   :   . 2 2   1   2      +   +             +            +            x   x   x   x   x x x   x   x   x a)   Rút   gọn biểu thức   A. b ) Tìm giá trị nhỏ nhất của   bi    thức   A.  Câu 2 (1,0 điểm) .  Cho góc nhọn     thoả mãn   2  tan   =   3     .  Hãy tính   giá trị biểu thức   (   ) 4   2   2 4   2   2   2  cos   in   . cos   1  B=   . 3  2.cos   2 in   . os   sin  5  +   + +     s s   c                  Câu 3 (1,0    .  Tìm tất cả các cặp số nguyên   (   ) , x y   thoả mãn   2   2   2 2   4   4   18   16   39 +   +   =   +   +    x   xy   y   xy   x   y  Câu 4 ( 1,0 điểm) .  Cho   số   k   thoả mãn   1   1   1   1   1   1   1   1 ...   .   ... 1.2   3.4   5.6   2019.2020   1011   1012   1013   2020      +   +   +   +   =   +   +   +   +          k  Chứng minh rằng:   .     k  Câu 5 ( 1,0 điểm) .  Giải phương trình   1926   1954   1971   23.    +      +      = x   x   x  Câu 6 (1,0    .  Cho   tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Trên đoạn HB lấy M và trên đoạn HC lấy N sao cho       AMC   ANB   90 =   =      . Chứng minh   rằng   AM = AN.  Câu 7 ( 1,0 điểm) .  Cho tam giác ABC nhọn. Gọi D là trung điểm của BC ;   E là điểm bất kỳ trên cạnh AC. Gọi M là giao điểm của AD với BE. Kẻ đường thẳng CM cắt AB tại F .  Chứng minh rằng hai đường thẳng EF và   BC   song song với nhau.  Câu 8 (1,0 điểm) .  Cho   , , c a b   là độ dài các cạnh của một tam giác bất kỳ .  Chứng minh rằng :   3 +   +    +      +      +     a   b   c b   c   a   c   a   b   a   b   c   .  Câu   9 ( 1,0 điểm) .  Trong hình vuông cạnh bằng 18 cho 1945 điểm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 7 điểm trong số 1945 điểm đã cho.  ----------- Hết -----------  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !  Họ và tên thí sinh:........................................................... Số báo danh:.................................HDC_HSG Toán 9   Trang 1/4  PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN   KÌ THI CH  N H  C SINH GI  I L  P 9 ,   NĂM H  C   201 9 - 2020  HƯ  NG D  N CH  M   MÔN:TOÁN  ( Hư  ng d  n ch  m g  m 0 4   trang)  I) Hư   n chung:  1) Hướ ng d  n ch  m ch    nêu m  t cách gi  i v  i nh  n, n    không theo cách  nêu trong hướ ng d  n ch    s     m t  ng ph  m quy   nh. 2) Vi  c chi ti  m (n  ng d  n ch  m ph  o không làm sai l  ch  hướ ng d  n ch  m và ph  c th  ng nh  t th  c hi  n v  i t  t c    giám kh  o.  3) Điểm toàn bài tính đế n  0,25    m. Sau khi c   gi    nguyên k  t qu  . 4) V  c n  u h  c sinh  không v    hình ph   không   cho điể m ph   II) Đáp án và thang đi  m:  Câu 1  ( 2 ,0 đi  m) .  Cho s    th  c   x   tho    mãn   <    3   x   4   và bi  u th  c   3   2   5   9   3 A=   :   . 2 2   1   2      +   +             +            +            x   x   x   x   x x x   x   x   x a) Rút g  n bi  u th  c A.  N  i dung trình bày     m  V  i   <    3   x   4   thì   (   ) (   )   (   ) (   )   (   )  (   ) (   ) 3   1   2   2   5   9   2 A=   .   3 2   1  +   +      +      +           +  x   x   x   x   x   x   x x x   x  (   ) 4   3   4   5   9   2 =   . 2   3  +   +         +               x   x   x   x   x   x x   x   x  0,5  2   2   2 .   . 2   3   3      =   =            x   x   x   x x   x   x   x V  y, v  i   <    3   x   4   thì   2 A   . 3  =     x x  0,5  N  u h  c sinh không nh  c l  i đi  u ki  n   trư  c khi rút g  n   thì tr    0,25     m .  b) Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c A.  N  i dung trình bày     m  V  i   <    3   x   4   thì   2   6   6 A   2   3   2   2   3.   4   3. 3   3   3  =   =      +         =         x   x   x x   x   x   0,5  D  u “=” x  y ra khi và ch    khi   (   ) 2 6 2   3   3   3   6 (TM). 3     =         =      =   x   x   x x V              4   3   khi và ch    6. = x  0,5  Câu 2  (1,0 đi  m).   Cho góc nh  n     tho    mãn   2 tan   =   3     .

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2019 – 2020 phòng GD&ĐT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

Đề HSG Toán 9 vòng 1 năm 2020 – 2021 trường Nguyễn Tất Thành – Hà Nội

Đề học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT Ba Đình – Hà Nội

1  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  KIÊN GIANG  - -------------  KỲ   THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH   TH CS  NĂM HỌC   2020 - 2021  ----------------------- -------     THI   CHÍNH THỨC   Môn :   TOÁN  Thời gian:   1 5 0   phút   (không kể thời gian giao đề)  Ngày thi:   19/3/2021  (Đề thi có   02   trang , gồm   0 5 bài )  Bài   1.   ( 4     Câu 1.   Cho phương trình: 4   2  2   6   24   0 x   mx +   +   =   ( m   là tham số). Tìm giá trị   của   tham  số m    1   2   3   4 ,   ,   , x x   x   x   phân biệt thỏa mãn: 4   4   4   4 1   2   3   4   144 x   x   x   x +   +   +   =  Câu 2.   Giải hệ phương trình: 3   2   19 2   3   5   2 5   2   3  x   y x   y y   x  +   =        +    +   =    +       (với 3 ,   5 2  x   y       )  Bài   2.   (4     Câu 1.   Cho hai số thực , a b   khác 0   thỏa mãn 2 2 2  1 2   4 4  b a   a  +   +   =   . Tìm giá trị lớn nhất  và giá   trị nhỏ nhất của biểu thức: 2019 S   ab =   +   .  Câu 2.   Trong mặt phẳng Oxy   cho Parabol 2  (   ): P   y   x = −  a) Chứng minh rằng đường thẳng 1 ) : (   2   1 d   y   x =   +   tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ  của tiếp điểm.  b) Xá c định tiếp tuyến 2 d   với parabol nói trên sao cho 2   1 d   d    .  c) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1 d   và 2 d   .  Bài 3. (4 điểm)  Câu 1.   Cho 4   3   2  ( ) f x   ax   bx   cx   dx   e =   +   +   +   +   . Xác định các số hữu tỉ , , ,   , a b c d e   sao cho 3  ( )   f(   1) f x   x   x       =  .   Từ đó tính 3   3   3   3  1   2   3   ... S   n =   +   +   +   +   .  Câu 2.   Chứng minh rằng với mọi , x y    thì 4  (   )(   2 )(   3 )(   4 ) A   x   y   x   y   x   y   x   y   y =   +   +   +   +   +  là số chính phương.  Bài   4. (4 điểm)  Câu   1.   Cho ba số thực dương thỏa mãn tích của chúng bằng một và tổng của chúng  luôn lớn hơn tổng nghịch đảo của chúng. Chứng minh rằng có một và chỉ một trong ba số  lớn hơn một.2  Câu 2.   Cho   hình vuông ABCD   , trên cạnh AB   lấy điểm E   và trên cạnh AD   lấy điểm F  sao cho AE   AF =   . Vẽ AH   vuông góc với BF   ( H   thuộc BF   ), AH   cắt DC   và BC   lần lượt  tại hai điểm M   , N   .  a) Chứng minh   t  AEMD   là hình chữ nhật.  b)   Chứng minh   rằng 2   2   2  1   1   1  AD   AM   AN  =   +  Bài 5. (4 điểm)   Cho 1   1 (   ,   ) O R   tiếp xúc ngoài với 2   2 (   ,   ) O   R   tại A   .   Kẻ tiếp tuyến chung  ngoài   có BC   , 1 B   (   ) O    , 2 C   (   ) O    .  a) Tính BAC   .  b) Tính độ dài BC   .  c) Gọi D   là giao điểm của BA   với 2 (   ) O   . Chứng   minh rằng   ba điểm 2 ,   , C   O   D   thẳng  hàng.  d) Tính độ dài BA   .  -------------------- HẾT --------------------  Ghi chú :     Thí sinh không được sử dụng tài liệu.     Giám thị   coi thi không giải thích gì thêm.

Đề học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kiên Giang

S    G IÁO   DỤC   VÀ      TẠO  L    S   K    THI   CHỌN   HỌC   SINH   GIỎI   CẤP   TỈNH  LỚP   9   NĂM   HỌC   20 20   -   20 21  M  n thi:   Toán lớp 9   THCS  Th  i gian:   1 5 0   ph  t ( kh  ng k    th  i gian giao    )  Ng  y thi:   18/3 /20 2 1  (    thi g  m   0 1   trang,   05   c  u )  Câu 1   (4,0    i  m).  Cho biểu thức : 2 : 1   1 1   1                                                        x   y   x   y   x   y   xy P   xy xy   xy   với 0;   0;   1. x   y   xy         a)   Rút gọn biểu thức . P  b)   Tính giá trị của P   với 9   4   5.     y  Câu 2   (4,0    m).   Cho phương trình     2   2   2   3   0              mx   m   x   m   ( m   là tham số).  a) Tìm   tất cả các giá trị của tham số m     b) Tìm   tất cả các giá trị của tham số m    1   2 , x   x   thỏa  mãn: 2   2 1   2  1   1   2.  x   x       Câu 3   (4,0 điểm).  a)   Giải hệ phương trình 2   2  2 2   1   2   2  xy   x   y   x   y x   y   y   x   x   y                                b) Tìm   tất cả các số nguyên dương ,   , x y z   thỏa mãn phương trình 6   6   4   3   2   2   2   2  15   75   3   15   125. y   y   y   z   x z x   z   x y                   Câu 4   (6,0 điểm).   Ch o tam giác đều ABC   nội tiếp đường tròn     ;   . O R   Gọi H   là một điểm di động trên đoạn   thẳng OA   ( H   khác O   và  HA   HO   ). Đường thẳng đi qua H   và vuông  góc với OA   cắt cung nhỏ AB   tại . M   Gọi K   là hình chiếu   vuông góc   của M   trên . OB  a) Chứng minh .  BMK   MAB  b) Các tiếp tuyến của     ; O R   tại A   và B   cắt tiếp tuyến tại M   của     ; O R   lần lượt tại D   và . E , OD OE   cắt AB   lần lượt tại F   và . G   Chứng minh   rằng : .   .   .  OE OG   OF OD  c) T  H      tam giác MAB    .  Câu 5   (2,0 điểm).  a)   Cho , , a b c   là các số thực dương thoả   mãn 2   2   2  1   1   1   6.  a   b   c          T    nhất của biểu thức                  2   2   2   2   2   2 2   2   2   2   2   2   .                b c   c a   a b Q   a b   c   b c   a   c a   b  b) C ho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu   xanh   hoặc    Chứng minh   rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu.  --------------------- Hết ---------------------  Họ và tên thí sinh: .................................................. Số báo danh: .......................  Chữ kí giám thị số 1:...........................Chữ kí giám thị số 2:..................................     THI   CHÍN H THỨCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  LẠNG SƠN  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH  LỚP 9 NĂM HỌC 2020   -   2021  HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS  (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang )  Chú ý:   Những cách giải khác HDC mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định.  Câu   Nội dung     1  (4đ)  a)                 1   1   1   2 : 1   1                                   x   y   xy   x   y   xy   xy   x   y   xy P   xy   xy   0,5 1 . 1   1                                      x   x   y   y   y   x   x   x   y   y   y   x   xy xy   x   y   xy  0, 5              2 1   1              y   x   y x   y  0,5 2 1        y y  0,5  b)     2  9   4   5   5   2           y   0,5     2  5   2   5   2           y  0,5     2   5   2   5 5 1   9   4   5               P  1,0  2  (4đ)  a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu     3   0        m m   1,0 0   3. m         1,0  b)   TH1. 0  m  Phương trình 4   3   0        x   (Không thỏa mãn yêu cầu)   0,5  TH2. 0  m  Phương trình   có hai nghiệm 1   2 , x   x '   0             2  2   3   0   4                    m   m m   m   0,5  Khi đó      1   2 1   2  2 2 3                       m x   x   m m x x   m   và          2 1   2   1   2 2   2   2 1   2   1   2  2 1   1   2   2  x   x   x x x   x   x x                  0,5       2 2  2 2   3 2 2   1 ( /   ). 3                                           m   m m   m   m   t   m m m  0,5  3  (4đ)  a) 2   2  2   (1) 2   1   2   2   (2)                                xy   x   y   x   y x   y   y   x   x   y    1,   0 x   y       0,5  Khi đó:           1   2   1   0              x   y   x   y   0,5 2   1   0   2   1                    x   y   x   y  0,5  Thay vào phương trình (2) ta được:         1   2   2   0   2              y   y   y  y hệ có nghiệm           ;   5; 2 .  x y  0,5

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lạng Sơn

UBND   TiNH THAI   NcuveN  sd   crao   DUC   vA   EAo   r4o  nn   rur   cniNn   rntlc  Bii   I   1O   ai6m;.  THI   cHgN   Hec   sINH   clot   cAp   riNn   LoP   9  NAtvt   Hoc   zozo   - 2o2r  ^rvr0N   THI:   roAN  Thdi   gian   ldm   bdi:1   50   phut,   kh6ng   k€   thdi gian   phdt   di  a.   chobi6uthric   ,-(   x+z[x+q   *x+2J{+t   ]'I.|l*t *   1,   )  ,   I xvx-8   x-r   ./   \G-.mnl  Chrnrgminh916dcuabi€uthirc   P   klrOngphgthuQcviio   x   (v6i   x   )   0,   x   *1,   x   +3,   x +   4).  b. Trong   mit   phdng   tqa   dQ   Oxy,   cho duirng   thing (a),   V   =   ax   -   a(a   +0)ve   hai   di6m  A(O;-Z),n(e;O).   fim   chc   giittri   cria   a   de dubng   thang   (a)   cht   hai tryc tqa   d0 Ox,   Oy   lAn   luqt   tpi   hai   di6m phdn   biQt   M,   N   sao   cho   Soor,   =   Soorr.  Bai   2 (6   tli6m).  a.   TimnghiQmnguy6n   ducmg   x,   y   ciaphucrngtrinh   *'+   y'-6x+4y-4:0.  b.   Chrmg   minh   rdng   v6i   mgi   si5   tg   nhi6n   n   thi   (ZOZO"'   +   Z)   kh6ng ph6i   ld   lap  phucrng cria mQt   st5   tU   nhi6n.  c.   Tim   cdc   c{p   s5   nguy6n   t6   (p,   A)   thOamdn 3pq2   *   P   =   q3   +3p3   +3.  Bii   3   (6   tli6m).   Cho tam gi6c   nhgn   ABC   ngi ti6p   ducng   trdn   (O).   TrOn   cung   nho  AC   cua   ducyng   trdn   (O)   l6y   hai ttitim   M,   N   sao   cho   MI,{   song   song   v6i   AC   vd'  AM   <,4ff.   Ggi   P   liL   giao   di6m   clua   BM   vd   AC.   Tr€n cung nh6   BC   cria   ducrng   tron  (O)   tdy   di6m   Q   sao   cho   PQ   vudng   g6c   vdi   BC. Ggi   R   le   giao   ditim   c:iua   AC   va  QN;   F   li   giao   di6m   cin   AQ   vd   B//.   Chrmg   minh reng' a.   Cdc   di6m   B,   P,   R,   Q   ctng   thuQc   mQt   ducrng   trdn.  b. BR   vudng   g6cvoi   AQ.  ^   ^   ^ c.   AFB   =   BPQ+   ABR.  Bni   4 (1   tli6m). C6   n   v4n   dQng   vi6n   tham   gia   mQt   giai   thi   d6u   cAu 16ng   theo.lhe.tltr: loai   tr.uc-   ti6p, nghia   li   vfln   dQng   vi6n   thua   s€   bi   lo4i   ngay (kh6ng   c6   tr4n   {au   hda).  Theo   thC   le   cuQc   thi,   hai   vfn   dQng   vi€n   chi   c6   th6   du.gc   thi   ddu   v6i   nhau   n6u   ch€nh  lgch   gifia   sti   tr6n   de   thi   d6u   ctra   hqkhOng qu6   1.   eiCt   ting,   cu6i   cirng   chi   c6 dung   mQt  v4n   <lQng   vi€n   v6 dich,   cdc   vQn   dQng   vi€n   kh6c ddu   dd   bi   loai.   Tim   n   nho   nhdt   sao  cho v$n   dQng   vi6n   v6   dich th6ng   duqi   dung   10   tr$n   thi   d6u.  Bai   s   (1   tli6m).  Cho   c6c   s6   t.u   nhi6n a,   b   thba   man (+a2   +2b2   +   4ab   +12a+   8b   +   2020)   chia   h6t   cho   3.  Chtmg   minh   rang   (a   -b)   chiahtit   cho   3.  H6t   --------  (Cdn   b0   coi thi   kh6ng   giafthich   gi   th1m)  H9   vi   10n..........   SBD